Numerische Mathematik: Eine algorithmisch orientierte Einführung (de Gruyter Lehrbuch) (German Edition)

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A y D N zero y. Insbesondere ist das Eigenwertproblem für normale Matrizen gutkonditioniert mit Äabs D 1. Beispiel five. three. Falls A nicht symmetrisch ist, ist das Eigenwertproblem nicht mehr automatisch gutkonditioniert. Als Beispiel betrachten wir die Matrizen 2 three zero 1 AD4 zero zero five 2 three und AQ D four zero 1 five ı zero p mit den Eigenwerten 1 D 2 D zero bzw. Q 1;2 D ˙ ı. Für die Kondition des Eigenwertproblems . A; 1 / ergibt sich Äabs p ı 1 jQ 1 1j D p ! 1 für ı ! zero: D Q ı kA Ak2 ı Die Bestimmung des Eigenwertes ein schlecht gestelltes challenge.

Einen Funktionenraum, und den Betrag durch die zugehörige Norm ersetzt. Solche Sätze spielen nicht nur in der Theorie, sondern auch in der Numerik von Differential- und Integralgleichungen eine Rolle. Wir werden in diesem einführenden Lehrbuch lediglich die Erweiterung auf X D Rn mit einer Norm ok okay anstelle des Betrages j j benutzen. Bemerkung four. 6. Für skalare nichtlineare Gleichungen, bei denen lediglich ein Programm zur Auswertung von f . x/ zusammen mit einem die Lösung einschließenden Intervall vorliegt, hat sich inzwischen der Algorithmus von R.

2. Ein ausführliches numerisches Beispiel wird uns zeigen, dass die sich anbietende naive Übertragung der Drei-Term-Rekursion in einen Algorithmus unter Umständen nicht zu brauchbaren Ergebnissen führt. Wir werden deshalb in Kapitel 6. 2. 1 die Kondition von Drei-Term-Rekursionen analysieren und so zu einer Klassifizierung ihrer Lösungen gelangen. Dies wird es uns schließlich ermöglichen, stabile Algorithmen zur Berechnung von speziellen Funktionen und von Linearkombinationen der shape (6. 1) anzugeben.

Xi yi /; gefolgt von der im letzten Beispiel analysierten Summenbildung, f D sn ı p. Nach Lemma 2. 21 gilt zusammen mit Lemma 2. 19 und der Abschätzung des Stabilitätsindikators n im letzten Beispiel, dass f Äf und daher f Ä. n C p Äp /Än Ä . 1 C n /Än Ä nÄn ˇ ı ˇPn Pn ˇ ˇ Än iD1 jxi yi j iD1 xi yi ˇPn ˇ D n=2: Än D n Pn Äf 2 iD1 jxi yi j= ˇ iD1 xi yi ˇ (2. 7) Bei 2n 1 Elementaroperationen ist dieser Algorithmus für das Skalarprodukt additionally numerisch stabil. Tatsächlich erweist sich diese Abschätzung in der Regel als zu pessimistisch.

Y x// F zero . x//. y x/ ds: F . y/ F . x/ F zero . x/. y x/ D sD0 Die linke Seite in (4. five) lässt sich damit umformen und abschätzen gemäß Z 1 F zero . x/ 1 . F zero . x C s. y x// F zero . x//. y x/ ds sD0 Z 1 Ä s! ky sD0 xk2 ds D ! ky 2 xk2 ; 101 four. 2 Newton-Verfahren für nichtlineare Gleichungssysteme womit (4. five) bewiesen ist. Mit dieser Vorbereitung können wir uns nun der Frage der Konvergenz der Newton-Iteration zuwenden. Unter Verwendung der Iterationsvorschrift (4. three) sowie F . x / D zero erhalten wir x kC1 D xk x D x ok zero F zero .

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